BAB 1
PENDAHULUA
A. Latar
Belakang
Distribusi
peluang gabungan, distribusi marginal, dan distribusi bersyarat merupakan sub
materi dari materi pokok teori probabilitas yang tidak kalah
penting dari sub materi lainnya, selama ini kita tidak memahami materi distribusi
gabungan,marginal dan bersyarat, oleh karena itu kita membahas masalah ini agar kita bisa memahami materi distribusi gabungan,
distrribusi marginal, dan distribusi bersyarat, sehingga memudahkan kita di
semester yang akan datang untuk memahami mata kuliah statistika, karena selain
sebagai materi pokok teori probabilitas distribusi gabungan, distribusi
marginal, dan distribusi bersyarat merupakan pengantar mata kuliah statistika.
Untuk
mengetahui sejauh mana kita dapat mengerti dan memahaminya serta untuk menambah wawasan
dimasa depan, selain dari pada itu juga merupakan tuntutan dari dosen pengampu
sebagai bagian dari materi kuliah teori probabilitas.
B. Rumusan
Masalah
1. Apa
itu distribusi gabungan?
2. Apa
itu distribusi marginal?
3. Apa
itu distribusi bersyarat?
C. Tujuan
1. Dapat
mengetahui dan memahami apa itu distribusi gabungan
2. Dapat
mengetahui dan memahami apa itu distribusi marginal
3. Dapat
mengetahui dan memahami apa itu distribusi bersyarat
PAKET 1
DISTRIBUSI
GABUNGAN, MARGINAL, DAN BERSYARAT
A.
Distribusi
Gabungan
Pembahasan macam-macam distribusi
yang berkaitan dengan dua peubah acak selalu didasarkan pada peubah acak
berdimensi dua.
Definisi 1.1 PEUBAH ACAK BERDIMENSI DUA
Jika S merupakan ruang sampel dri
sebuah eksperimen, maka pasangan (X,Y) dinamakan peubah acak berdimensi dua,
jika X dan Y masing-masing menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap
anggota S. tau tidak berhingga
Definisi 1.2 PEUBAH ACAK DISKRIT
BERDIMENSI DUA
(X,Y) disebut
peubah acak diskrit berdimensi dua, jika banyaj nilai-nilai yang mungkin dari
(X,Y) salah satunya berhingga tapi dapat dihitung.
Contoh 1
Sebuah kotak berisi 3 bola pingpong
bernomor 1,2,3. Kemudian kita mengambil dua bola pingpong scara acak dengan
pengmbilan. Misalnya peubah acak X menyatakan bilangan pada pengmbilan bola
pingpong pertama dan peubah acak Y
menyatakan bilangan pada pengambilan
bola pingpong kedua. Pada pengmbilan bola pingpong pertama, bola yang akan
diambil ada tiga kemungkinan, yaitu bola pingpong bernomor 1,2, tau 3. Jadi ,
nilai-nilai yang mungkin dari X adalah {1,2,3}.
Pada pengambilan bola pingpong
kedua, karena bola pingpong pertama yang diambil dikembalikan kembali kedalam kotak , maka bola pingpong
yang akan diambil juga ada tiga kemungkunan , yaitu bola pingpong bernomor
1,2, atau 3. Jadi , nilai-nilai yang mingkin
dari Y adalah {1,2,3}. Karena kedua peubah acak X dan Y mempunyai banyak
nilai-nilai yang mungkinnya berhingga, maka (X,Y) termasuk peubah acak diskrit
berdimensi dua.
Misal, X=
pengambilan bola pimpong pertama
Y= pengambilan bola pimpong kedua
Ket. Setiap bola dikembalikan lagi
Maka X={1,2,3}
Y={1,2,3}
Jadi p(x,y)=P(X=x,
Y=y) untuk setiap pasangan nilai (x,y)
dalam daerah hasil dari X dan Y.
Dalam peubah acak diskrit,
penghitungan peluang dari peubah acak X dan Y
yang masing-masing berharga tertentu memerlukan sebuah fungsi yang
dinamakan fungsi peluang gabungan.
Definisi 1.3 FUNGSI PELUANG GABUNGAN
Jika X dan Y adalah dua peubah acak
diskrit , maka fungsi yang dinyatakan
dengan p(x,y)=P(X=y, Y=y)untuk setiap pasangan nilai (x,y) dalam
daerahhasil dari X dan Y, yang dinamakan fungsi peluang gabungan.
Dalil 1.1 SIFAT-SIFAT FUNGSI
PELUANG GABUNGAN
Sebuah fungsi berdua peubah acak
dapat digunakan sebagaidistribusi peluang gabungan dari pasanagn peubah acak
diskrit X dan Y, jik dan hanya jika nilai-nilainya, yaitu p(x,y) memenuhi
sifat-sifat sebagai berikut:
1. P(x,y)≥0,
untuk setiap pasangan nilai (x,y) dalam daerah asalnya.
2.
Apabila X mempunyai
nilai-nilai x1, x2,x3,……xm dan Y
mempunyai nilai-nilai y1,y2,y3,…,ym,
maka peluang peristiwa X=xj dan Y=yk terjadi dinotasikan
dengan:
P(X=xj, Y=yk)=p(xj,
yk)
Fungsi peluang gabungan
dari X dan Y diatas dapat digambarkan dalam tabel1.1
X/Y
|
Y1
|
Y2
|
Y3
|
...
|
Yn
|
Jumlah
|
X1
|
P(x1,y1)
|
P(x1,y2)
|
P(x1,y3)
|
...
|
P(x1,yn)
|
P1(x1)
|
X2
|
P(x2,y1)
|
P(x2,y2)
|
P(x2,y3)
|
...
|
P(x2,yn)
|
P1(x2)
|
X3
|
P(x3,y1)
|
P(x3,y2)
|
P(x3,y3)
|
...
|
P(x3,yn)
|
P1(x3)
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
Xm
|
P(xm,y1)
|
P(xm,y2)
|
P(xm,y3)
|
...
|
P(xm,yn)
|
P1(xm)
|
Jumlah
|
P2(y1)
|
P2(y2)
|
P2(y3)
|
...
|
P2(yn)
|
1
|
Penghitungan peluang
dari dua peubah acak X dan Y yang masing-masing berharga tertentu, digunakan
rumus:
P[(X,Y) A]=
Dengan A merupakan himpunan bagian dari daerah asal
X dan Y. pemahaman penggunaan rumus diatas, diperjelas melalui contoh-contoh
berikut:
Contoh 2
Fungsi peluang gabunagn dari X dan Y berbentuk:
P(x,y)=c(x+2y);x=0,1,2,3;dan
y=0,1,2,3
a. tentukan
nilai konsstanta c!
b. hitung P(X=2, Y=1)!
c. hitung P(X≥1, y≤2)!
Penyelasaian
a. berdasarkan
sifat (2), maka
p(x,y)=c(x+2y)
p(0,0)=c(0+2(0)=0
p(0,1)=c(0+2(1)=2c
p(0,2)=c(0+2(2)=4c
p(0,3)=c(0+2(3)=6c
p(1,0)=c(1+2(0)=1c
p(1,1)=c(1+2(1)=3c
p(1,2)=c(1+2(2)=5c
p(1,3)=c(1+2(3)=7c
p(2,0)=c(2+2(0)=2c
p(2,1)=c(2+2(1)=4c
p(2,2)=c(2+2(2)=6c
p(2,3)=c(2+2(3)=8c
p(3,0)=c(3+2(0)=3c
p(3,1)=c(3+2(1)=5c
p(3,2)=c(3+2(2)=7c
p(3,3)=c(3+2(3)=9c
P(0,0)+P(0,1)+P(0,2)+P(0,3)+(1,0)+(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,0)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,)+(3,0)+P(3,1)+P(3,2)+P(3,3)=1+0+2C+4C+6C+C+3C+5C+7C+4C+6C+8C+3C+5C+7C+9C=1
72C=1
C=1/72
b. P(X=2, Y=1)
c. P(X≥1,Y≤2) =
)(X+2Y)
= (
=
B.
Distribusi
Marginal
Definisi Distribusi Marginal
Distribusi marginal (pias) dari X sendiri danY
sendiri didefinisikan sebagai g(x)
=
(x,y) dan h(y)
=
(x,y)untuk hal diskrit
g(x) =
(x,y) dy dan hy
(x,y) dx untuk hal kontinu
tunjukkan bahwa jumlah lajur dan baris tabel pada contoh.memberikan distribusi pias
dari X sendiri dan Y sendiri !
jawab:
unutk peubah acak X
P(x=0) = g(0) =
(0,y)=f(0,0) + f(0,1) + f(0,2)
=
+
+
=
=
(1,y)
P(x= 1) =
g(1)
Dan =
f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)
=
+
+
0 =
P(x=1) =
g(1)
=
(2,y) = f(0,0) + f(0,1) + f(o,2)
=
f(2,0) + f(2,1) + f(0,2)
=
+
0 + 0 =
Yang merupakan jumlah lajur tabel 2.6 dengan jalan yang sama
dapat ditunjukkan bahwa nilai h(x) merupakan jumlah barisnya. Dalam bentuk
tabel distribusi pias ini dapat ditulis sebagai:
X 0 1 2
X 0 1 2
g(x)
h(x)
contoh 2.11
cari g(x) dan h(x) untuk fungsi padat gabungan contoh 2.9
jawab
Menurut difinisi
g(x) =
(x,y) dy =
(2x + 3y) dy
=
+
y
= 1 =
y
= 0
untuk 0
dan g(x) = 0 untuk x lainnya.
Begitu pula,
h(y) =
(x,y) dy =
(2x + 3y) dy
=
Untuk 0
x
1,
dan h(y) = 0 untuk y lainnya.
Sesungguhnya distribusi pias g(x)dan h(y) adalah distribusi
peluang masing-masing peubah X dan Y sendiri dapat dengan mudah dirunjuk-kan
dengan membuktikan bahwa syarat defenisi distribusi peluang diskrit atau
definisi distribusi peluang kontinu dipenuhi. Sebagian contoh, untuk hal
kuntinu.
(x) dx =
(x,y) dy dx = 1
P(a
=P(a
)
=
=(x,y) dy dx
=
Berdasarkan
definisi peluang bersyarat,
P=B
A =
P(A)
Dengan
A dan B sekarang menyatakan kejadian yang ditentukan oleh masing-masing, X = x
dan Y=y, maka
P(Y= y
X = x) =
=
,
g(x)
0
Bila X dan Y peubah acak diskrit
Tidak
sulit membuktikan bahwa fungsi f(x,y)/g(x), yang hanya merupakan fungsi y
dengan x tertentu, memenuhi semua persyaratan untuk suatu distribusi peluang.
Hal ini juga berlaku bila f(x,y) dan g(x) merupakan distribusi padat gabungan
dan distribusi pias peubah acak kontinu. Bila distribusi peluang ini ditulis
sebagai f(y x) maka diperoleh defenisi
berikut :
Defenisi. Misalkan X dan Y dua peubah
acak, diskret maupun kontinu Distribusi bersyarat peubah acay Y, bila diketahui
X = y, dinyatakan oleh:
f(y x) =
,
g(x)
0,
begitupula, distribusi bersyarat peubah
acak X, bila diketahui Y= y, dinyatakan oleh :
f(x y)
=
,
g(x)
0,
bila ingin mencari
peluang peubah acak diskret X berada antara a dann b bila diketahui bahwa
peubah acak diskret Y= y maka hitunglah:
p(a
Y=y) =
y)
penjumlahan meliputi seluruh nilai X
antara a dan b. Bila X dan Y kontinu maka hitunglah
p(a
Y=y) =
y) dx
contoh.
Berdasarkan
pada contoh distibusi peluang gabungan, tentukan distribusi bersyarat X, bila Y
= 1, dan gunakan untuk menghitung P(X = 0
Y= 1
Penyelesaian.
Jika
ingin mencari f(x y) untuk y = 1,
pertama-tama ditentukan bahwa
h(1) =
=
+
+
0 =
selanjutnya
f(0
1) =
=
f(x,1); =
o,1,2
sehingga
f(0
1) =
f(0,1) =(
) (
) =
f(0
1) =
f(1,1) =(
) (
) =
f(0
1) =
f(2,1) =(
) (0) = 0
dan distribusi bersyarat X, bila Y = 1,
adalah
Artinya,
P(X
= 0 Y = 1) = f(0 1) =
Jika jikka diketahui bahwa 1 dari kedua kelereng yang terambil
berwarna merah, maka peluang terambilnya satu lagi dan bukan biru adalah
C. Distribusi
Bersyarat
Dalam
teori peluang, kita sudah menjelaskan dua buah peritiwa yang bersyarat. Jika A
dan B adalah dua buah peristiwa, maka peluang terjadinya peristiwa B diberikan
peristiwa A dirumuskan dengan:
P(B|A) =
;
P(A) ˃ 0
Jika A adalah peristiwa X = x dan B adalah
peristiwa Y = y, maka;
P(Y = y|X
= x) =
=
p(y|x) =
Dari
perumpamaan diatas, kita dapat mendefinisikan fungsi peluang bersyarat dari
sebuah peubah acak diberikan peubah acak lainnya.
Definisi
fungsi peluang bersyarat
“ Jika p(x,y)adalah nilai fungsi
peluang gabungan dari dua peubah acak diskrit X dan Y di (x,y) dan p2 (x)
adalah nilai fungsi peluang marginal dari Y di y, maka fungsi yang dinyatakan
dengan :
p(x|y)
=
;
p2(y) ˃ 0
untuk setiap x dalam daerah hasil
X,dinamakan fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y. Jika p1
(x) adalah nilai fungsi peluang marginal dari X di x, maka fungsi yang dirumus
dengan:
p(x|y)
=
;
p1 (y) ˃ 0
untuk setiap y dalam daerah hasil Y,
dinamakan fungsi peluang bersyarat dari
Y diberikan X = x.”
Karena p(x|y) dan p(y|x) masing-masing merupakan fungsi
peluang, maka kedua fungsi peluang itu
harus memenuhi sifat sebagai berikut:
1. a.
p(x|y)
0
b.
Bukti
=
.
=
.
p2(y) = 1
2. a.
p(y|x)
0
b.
Bukti
=
=
.
p2(x) = 1
Contoh
penentuan fungsi peluang bersyarat
Misalnya fungsi peluang gabugan dari X dan Y
berbentuk:
p(x,y) = (
) (x+y);x = 1,2,3
y = 1,2
a. Tentukan
p(x|y)!
b. Tentukan
p(y|x)!
c. Hitung
p(x|y)!
Penyelesaian
a. p(x|y)!
Kita akan menentukan terlebih dahulu p2(y),
yang merupakan fungsi peluang marginal dari Y.
p2
(y) =
=
)(x + y)
= (
){(1 + y) + (2 + y) + (3 + y)}
= (
)(6 + 3y)
Jadi, p2(y) = (
)(6 + 3y);y = 1,2
Sehingga
p(x|y)
=
;
x = 1,2,3
Pemeriksaan terhadap hasil diatas dilakukan
sebagai berikut:
(i)
Karena x = 1,2,3, dan y
= 1,2 mka P(x|y)
˃ 0
(ii)
Kita membuktikan bahwa
=
1
Bukti :
=
{(1 + y) + (2 + y) + (3 + y)}
=
(6
+ 3y) = 1
b. p(y|x)
=
Kita akan menentukan dahulu p1(x), yang merupakan
fungsi peluang marginal dari X.
P1(x) =
=
(x
+ y)
= (
{(x + 1) + (x + 2)}
= (
(2x + 3)
Jadi, p1(x) = (
(2x + 3); x = 1,2,3
Sehingga p(y|x)
=
;
y = 1,2
Pemeriksaan terhadap hasil diatas, dilakukan sebagai berikut:
(i)
Karena x = 1,2,3 dan y
= 1,2 maka p(x|y)
˃ 0
(ii)
Kita akan membuktikan
bahwa
=
1
Bukti :
=
{(x + 1) + (x + 2)}
=
(2x + 3) = 1
c. p(x|y
= 1) = (
(x
+ 1)
dari hasil fungsi peluang bersyarat itu, kita bisa menghitung
peluang bersyarat dari sebuah peubah acak, jika diberikan peubah acak lainnya
berharga tertentu.
1. Untuk
peubah acak X diberikan Y = y
a. p(x|y
= 1) =
p(1|y
= 1) =
=
;
x = 1
p(2|y
= 1) =
=
;
x = 2
p(3|y
= 1) =
=
;
x = 3
b. p(x|y
= 2) =
p(1|y
= 2) =
=
;
x = 1
p(2|y
= 2) =
=
;
x = 2
p(3|y
= 2) =
=
;
x = 3
2. Untuk
peubah acak Y diberikan X = x
a. p(y|x
= 1) =
p(1|x
= 1) =
=
;
y = 1
p(2|x = 1) =
=
;
y = 2
b.
p(y|x
= 2) =
p(1|x = 2) =
=
;
y = 1
p(2|x
= 2) =
=
;
y = 2
c. p(y|x
= 3) =
p(1|x
= 3) =
=
;
y = 1
p(2|x
= 3) =
=
;
y = 2
PAKET II
SOAL LATIHAN
1.
Misalkan fungsi
peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:
p(x,y)=k(x2+y2);=
-1,0,1,3 dan y= -q,2,3.
a.
Hitung nilai k!
b.
Hitung P(X=0,Y
2)!
c.
Hitung P(X
2-Y)!
2.
Misalkan fungsi
peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:
P(x,y)= kxy;x= q,,3
dan y = 1,2,3.
a.
Tentukan nilai k!
b.
Hitung P(X
2-Y) dan P(X
2,Y
1)!
3.
Misalkan fungsi
peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:
P(x,y)=(
) (x+y);x = 0,1,2,3
dan y = 0,1,2.
a.
Hitung P(X + Y
3)!
b.
Hitung P(X - 2
Y)!
c.
Hitung P(X - Y
1)!
4.
Misalnya fungsi
peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:
P(x,y)=(
) (x+y);x = 1,2 dan
y = 1,2,3,4
a.
Hitung P(X
Y)!
b.
Hitung P(X + Y = 3)!
c.
Hitung P(Y=2X)!
d.
Hitung P(X
3-Y)!
5.
Dua bola dianbil
secara acak dari sebuah kantong berisi tiga bola biru, dan merah, dan tiga
hijau jika X menyatakan bola yang berwarna biru dan Y warna merah yang
terambil, hitunglah
a.
Distribusi marginal
peubah acak X
b.
Distribusi marginal
peubah acak Y
6.
Diketahui distribusi
peluang gabungan peubah acak X dan Y:
BAB II
PENUTUP
A. Kesimpulan
Fungsi distribusi Peluang Gabungan untuk dua peubah acak
X dan Y adalah:
F(a,b) =P(x
a, Y
b)
=
(x,y), untuk data
diskrit
=
(x,y) dy dx, untuk data kontinu
Sifat-sifat fungsi distribusi peluang gabungan:
1.
f (-
) = 0, f (
) = 1
2.
fx (a) =
3.
P
Distribusi marginal dari x dan y adalah g(x)= dan
h(y)=untuk kasus diskrit, dan g(x)= dan h(y)= untuk kasus kontinu.
