Makalah Distribusi Bersyarat, Gabungan, dan Marginal

BAB 1

PENDAHULUA

A.    Latar Belakang

Distribusi peluang gabungan, distribusi marginal, dan distribusi bersyarat merupakan sub materi dari materi pokok teori probabilitas yang tidak kalah penting dari sub materi lainnya, selama ini kita tidak memahami materi distribusi gabungan,marginal dan bersyarat, oleh karena itu kita membahas masalah ini agar kita bisa memahami materi distribusi gabungan, distrribusi marginal, dan distribusi bersyarat, sehingga memudahkan kita di semester yang akan datang untuk memahami mata kuliah statistika, karena selain sebagai materi pokok teori probabilitas distribusi gabungan, distribusi marginal, dan distribusi bersyarat merupakan pengantar mata kuliah statistika.

 Untuk mengetahui sejauh mana kita dapat mengerti dan memahaminya serta untuk menambah wawasan dimasa depan, selain dari pada itu juga merupakan tuntutan dari dosen pengampu sebagai bagian dari materi kuliah teori probabilitas.

B.     Rumusan Masalah

1.      Apa itu distribusi gabungan?

2.      Apa itu distribusi marginal?

3.      Apa itu distribusi bersyarat?

C.     Tujuan

1.      Dapat mengetahui dan memahami apa itu distribusi gabungan

2.      Dapat mengetahui dan memahami apa itu distribusi marginal

3.      Dapat mengetahui dan memahami apa itu distribusi bersyarat

PAKET 1

DISTRIBUSI GABUNGAN, MARGINAL, DAN BERSYARAT

A.    Distribusi Gabungan

Pembahasan macam-macam distribusi yang berkaitan dengan dua peubah acak selalu didasarkan pada peubah acak berdimensi dua.

Definisi 1.1  PEUBAH ACAK BERDIMENSI DUA

Jika S merupakan ruang sampel dri sebuah eksperimen, maka pasangan (X,Y) dinamakan peubah acak berdimensi dua, jika X dan Y masing-masing menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap anggota S. tau tidak berhingga

Definisi 1.2 PEUBAH ACAK DISKRIT BERDIMENSI DUA

(X,Y)  disebut peubah acak diskrit berdimensi dua, jika banyaj nilai-nilai yang mungkin dari (X,Y) salah satunya berhingga tapi dapat dihitung.

Contoh 1

Sebuah kotak berisi 3 bola pingpong bernomor 1,2,3. Kemudian kita mengambil dua bola pingpong scara acak dengan pengmbilan. Misalnya peubah acak X menyatakan bilangan pada pengmbilan bola pingpong pertama dan peubah acak  Y menyatakan bilangan pada pengambilan bola pingpong kedua. Pada pengmbilan bola pingpong pertama, bola yang akan diambil ada tiga kemungkinan, yaitu bola pingpong bernomor 1,2, tau 3. Jadi , nilai-nilai yang mungkin dari X adalah {1,2,3}.

Pada pengambilan bola pingpong kedua, karena bola pingpong pertama yang diambil dikembalikan  kembali kedalam kotak , maka bola pingpong yang akan diambil juga ada tiga kemungkunan , yaitu bola pingpong bernomor 1,2, atau 3. Jadi , nilai-nilai yang mingkin  dari Y adalah {1,2,3}. Karena kedua peubah acak X dan Y mempunyai banyak nilai-nilai yang mungkinnya berhingga, maka (X,Y) termasuk peubah acak diskrit berdimensi dua.

Misal, X= pengambilan bola pimpong pertama

           Y= pengambilan bola pimpong kedua

Ket.  Setiap bola dikembalikan lagi

Maka X={1,2,3}

          Y={1,2,3}

Jadi p(x,y)=P(X=x, Y=y)    untuk setiap pasangan nilai (x,y) dalam daerah hasil  dari X dan Y.

        

Dalam peubah acak diskrit, penghitungan peluang dari peubah acak X dan Y  yang masing-masing berharga tertentu memerlukan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi peluang gabungan.

Definisi 1.3  FUNGSI PELUANG GABUNGAN

Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskrit , maka fungsi yang dinyatakan  dengan p(x,y)=P(X=y, Y=y)untuk setiap pasangan nilai (x,y) dalam daerahhasil dari X dan Y, yang dinamakan fungsi peluang gabungan.

Dalil 1.1 SIFAT-SIFAT FUNGSI PELUANG GABUNGAN

Sebuah fungsi berdua peubah acak dapat digunakan sebagaidistribusi peluang gabungan dari pasanagn peubah acak diskrit X dan Y, jik dan hanya jika nilai-nilainya, yaitu p(x,y) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1.      P(x,y)≥0, untuk setiap pasangan nilai (x,y) dalam daerah asalnya.

2.     

Apabila X mempunyai nilai-nilai x₁, x_2,x₃,……x_m dan Y mempunyai nilai-nilai y_1,y_2,y_3,…,y_m, maka peluang peristiwa X=x_j  dan Y=y_k terjadi dinotasikan dengan:

      P(X=x_j,   Y=y_k)=p(x_j, y_k)

Fungsi peluang gabungan dari X dan Y diatas dapat digambarkan dalam tabel1.1

X/Y	Y1	Y2	Y3	...	Yn	Jumlah
X1	P(x1,y1)	P(x1,y2)	P(x1,y3)	...	P(x1,yn)	P1(x1)
X2	P(x2,y1)	P(x2,y2)	P(x2,y3)	...	P(x2,yn)	P1(x2)
X3	P(x3,y1)	P(x3,y2)	P(x3,y3)	...	P(x3,yn)	P1(x3)
...	...	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...	...
Xm	P(xm,y1)	P(xm,y2)	P(xm,y3)	...	P(xm,yn)	P1(xm)
Jumlah	P2(y1)	P2(y2)	P2(y3)	...	P2(yn)	1

Penghitungan peluang dari dua peubah acak X dan Y yang masing-masing berharga tertentu, digunakan rumus:

                  P[(X,Y)   A]=

Dengan A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y. pemahaman penggunaan rumus diatas, diperjelas melalui contoh-contoh berikut:

Contoh 2

Fungsi peluang gabunagn dari X dan Y berbentuk:

P(x,y)=c(x+2y);x=0,1,2,3;dan y=0,1,2,3

a.    tentukan nilai konsstanta c!

b.                hitung P(X=2, Y=1)!

c.                hitung P(X≥1, y≤2)!

Penyelasaian

a.    berdasarkan sifat (2), maka

p(x,y)=c(x+2y)

p(0,0)=c(0+2(0)=0

p(0,1)=c(0+2(1)=2c

p(0,2)=c(0+2(2)=4c

p(0,3)=c(0+2(3)=6c

p(1,0)=c(1+2(0)=1c

p(1,1)=c(1+2(1)=3c

p(1,2)=c(1+2(2)=5c

p(1,3)=c(1+2(3)=7c

p(2,0)=c(2+2(0)=2c

p(2,1)=c(2+2(1)=4c

p(2,2)=c(2+2(2)=6c

p(2,3)=c(2+2(3)=8c

p(3,0)=c(3+2(0)=3c

p(3,1)=c(3+2(1)=5c

p(3,2)=c(3+2(2)=7c

p(3,3)=c(3+2(3)=9c

P(0,0)+P(0,1)+P(0,2)+P(0,3)+(1,0)+(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,0)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,)+(3,0)+P(3,1)+P(3,2)+P(3,3)=1+0+2C+4C+6C+C+3C+5C+7C+4C+6C+8C+3C+5C+7C+9C=1

72C=1

C=1/72

b.     P(X=2, Y=1)

c.    P(X≥1,Y≤2)    =          )(X+2Y)

                                          =          (

                                          =         

B.     Distribusi Marginal

Definisi Distribusi Marginal

Distribusi marginal (pias) dari X sendiri danY sendiri didefinisikan sebagai g(x)

 =            (x,y) dan h(y)

=          (x,y)untuk hal diskrit

  g(x)      =          (x,y) dy dan hy

               (x,y) dx untuk hal kontinu

tunjukkan bahwa jumlah lajur dan baris tabel pada contoh.memberikan distribusi pias dari X sendiri dan Y sendiri !

jawab:

unutk peubah acak X

P(x=0)    =          g(0)      = (0,y)=f(0,0) + f(0,1) + f(0,2)

               =           +  +  =

=          (1,y)

P(x= 1)   =         g(1)

            Dan     =         f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)

    =          +  + 0 =

P(x=1)    =         g(1)

 =         (2,y) = f(0,0) + f(0,1) + f(o,2)

 =           f(2,0) + f(2,1) + f(0,2)

 =            + 0 +  0 =

Yang merupakan jumlah lajur tabel 2.6 dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa nilai h(x) merupakan jumlah barisnya. Dalam bentuk tabel distribusi pias ini dapat ditulis sebagai:

       X        0      1          2                                                          X         0          1          2

g(x)                                                                                    h(x)                         

                

contoh 2.11

cari g(x) dan h(x) untuk fungsi padat gabungan contoh 2.9

jawab

Menurut difinisi

g(x)        =          (x,y) dy =             (2x + 3y) dy

  =           +  y = 1        =        

                                 y = 0

untuk 0  dan g(x) = 0 untuk x lainnya.

Begitu pula,

   h(y)      = (x,y) dy =         (2x + 3y) dy

               =

 Untuk 0  x  1, dan h(y) = 0 untuk y lainnya.

Sesungguhnya distribusi pias g(x)dan h(y) adalah distribusi peluang masing-masing peubah X dan Y sendiri dapat dengan mudah dirunjuk-kan dengan membuktikan bahwa syarat defenisi distribusi peluang diskrit atau definisi distribusi peluang kontinu dipenuhi. Sebagian contoh, untuk hal kuntinu.

(x) dx =   (x,y) dy dx = 1

P(a                   =P(a )

= =(x,y) dy dx

=

Berdasarkan definisi peluang bersyarat,

P=B  A =  P(A)       

Dengan A dan B sekarang menyatakan kejadian yang ditentukan oleh masing-masing, X = x dan Y=y, maka

P(Y= y    X = x) =  

               =  , g(x)  0

Bila X dan Y peubah acak diskrit

Tidak sulit membuktikan bahwa fungsi f(x,y)/g(x), yang hanya merupakan fungsi y dengan x tertentu, memenuhi semua persyaratan untuk suatu distribusi peluang. Hal ini juga berlaku bila f(x,y) dan g(x) merupakan distribusi padat gabungan dan distribusi pias peubah acak kontinu. Bila distribusi peluang ini ditulis sebagai f(y   x) maka diperoleh defenisi berikut :

Defenisi. Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskret maupun kontinu Distribusi bersyarat peubah acay Y, bila diketahui X = y, dinyatakan oleh:

               f(y    x) =  , g(x)  0,

begitupula, distribusi bersyarat peubah acak X, bila diketahui Y= y, dinyatakan oleh :

f(x    y) =  , g(x)  0,

bila ingin mencari peluang peubah acak diskret X berada antara a dann b bila diketahui bahwa peubah acak diskret Y= y maka hitunglah:

               p(a   Y=y) =    y)

penjumlahan meliputi seluruh nilai X antara a dan b. Bila X dan Y kontinu maka hitunglah

p(a   Y=y) =     y) dx

contoh.

Berdasarkan pada contoh distibusi peluang gabungan, tentukan distribusi bersyarat X, bila Y = 1, dan gunakan untuk menghitung P(X = 0  Y= 1

Penyelesaian.

Jika ingin mencari f(x    y) untuk y = 1, pertama-tama ditentukan bahwa

h(1) =  =  +  + 0 =  

selanjutnya

f(0 1) =  =  f(x,1);             = o,1,2

sehingga

f(0 1) =  f(0,1) =( ) ( ) = 

f(0 1) =  f(1,1) =( ) ( ) = 

f(0 1) =  f(2,1) =( ) (0) = 0

dan distribusi bersyarat X, bila Y = 1, adalah

X	0	1	2
f(x  1)			0

Artinya,

P(X = 0  Y = 1) = f(0 1) = 

Jika jikka diketahui bahwa 1 dari kedua kelereng yang terambil berwarna merah, maka peluang terambilnya satu lagi dan bukan biru adalah 

C.     Distribusi Bersyarat

Dalam teori peluang, kita sudah menjelaskan dua buah peritiwa yang bersyarat. Jika A dan B adalah dua buah peristiwa, maka peluang terjadinya peristiwa B diberikan peristiwa A dirumuskan dengan:

              P(B|A)  =    ; P(A) ˃ 0

              Jika A adalah peristiwa X = x dan B adalah peristiwa Y = y, maka;

                 P(Y = y|X = x) =  

                                          =

                               p(y|x)  =   

Dari perumpamaan diatas, kita dapat mendefinisikan fungsi peluang bersyarat dari sebuah peubah acak diberikan peubah acak lainnya.

Definisi fungsi peluang bersyarat

              “ Jika p(x,y)adalah nilai fungsi peluang gabungan dari dua peubah acak diskrit X                  dan Y di (x,y) dan p₂ (x) adalah nilai fungsi peluang marginal dari Y di y, maka fungsi yang dinyatakan dengan :

                         p(x|y) =  ; p₂(y) ˃ 0

      untuk setiap x dalam daerah hasil X,dinamakan fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y. Jika p₁ (x) adalah nilai fungsi peluang marginal dari X di x, maka fungsi yang dirumus dengan:

                          p(x|y) =  ; p₁ (y) ˃ 0

     untuk setiap y dalam daerah hasil Y, dinamakan fungsi peluang  bersyarat dari Y diberikan X = x.”

             Karena p(x|y) dan p(y|x) masing-masing merupakan fungsi peluang,  maka kedua fungsi peluang itu harus memenuhi sifat sebagai berikut:

1.      a. p(x|y)  0

b.

                         Bukti

                             

                                                 =  .  

                                                 =  . p₂(y) = 1

2.      a. p(y|x)  0

b.

                          Bukti

                             

                                                  =  

                                                     =  . p₂(x) = 1

Contoh penentuan fungsi peluang bersyarat

 Misalnya fungsi peluang gabugan dari X dan Y berbentuk:

 p(x,y) = ( ) (x+y);x = 1,2,3

                       y = 1,2

a.       Tentukan p(x|y)!

b.      Tentukan p(y|x)!

c.       Hitung p(x|y)!

Penyelesaian

a.       p(x|y)!

Kita akan menentukan terlebih dahulu p₂(y), yang merupakan fungsi peluang marginal dari Y.

          p₂ (y) =

                                = )(x + y)

                                  = ( ){(1 + y) + (2 + y) + (3 + y)}

 = ( )(6 + 3y)

                         Jadi, p₂(y) = ( )(6 + 3y);y = 1,2

                     Sehingga p(x|y) =  ; x = 1,2,3

                      Pemeriksaan terhadap hasil diatas dilakukan sebagai berikut:

(i)                 Karena x = 1,2,3, dan y = 1,2 mka P(x|y) ˃ 0

(ii)               Kita membuktikan bahwa  = 1

Bukti :

 =  {(1 + y) + (2 + y) + (3 + y)}

                =  (6 + 3y) = 1

b.      p(y|x) =

Kita akan menentukan dahulu p₁(x), yang merupakan fungsi peluang marginal dari X.

       P₁(x) =  

               =  (x + y)

             = (  {(x + 1) + (x + 2)}

            = (  (2x + 3)

Jadi, p₁(x) = (  (2x + 3); x = 1,2,3

Sehingga p(y|x) =  ; y = 1,2

Pemeriksaan terhadap hasil diatas, dilakukan sebagai berikut:

(i)                 Karena x = 1,2,3 dan y = 1,2 maka p(x|y) ˃ 0

(ii)               Kita akan membuktikan bahwa  = 1

Bukti :

 =  {(x + 1) + (x + 2)}

               =  (2x + 3) = 1

c.       p(x|y = 1) = (  (x + 1)

dari hasil fungsi peluang bersyarat itu, kita bisa menghitung peluang bersyarat dari sebuah peubah acak, jika diberikan peubah acak lainnya berharga tertentu.

1.      Untuk peubah acak X diberikan Y = y

a.       p(x|y = 1) =  

p(1|y = 1) =  =  ; x = 1

p(2|y = 1) =  =  ; x = 2

p(3|y = 1) =  =  ; x = 3

b.      p(x|y = 2) =

p(1|y = 2) =  =  ; x = 1

p(2|y = 2) =  =  ; x = 2

p(3|y = 2) =  =  ; x = 3

2.      Untuk peubah acak Y diberikan X = x

a.       p(y|x = 1) =  

p(1|x = 1) =  =  ; y = 1

p(2|x = 1) =  =  ; y = 2       

b.      p(y|x = 2) =

p(1|x = 2) =  =  ; y = 1       

p(2|x = 2) =  =  ; y = 2

c.       p(y|x = 3) =  

p(1|x = 3) =  =  ; y = 1

p(2|x = 3) =  =  ; y = 2

PAKET II

SOAL LATIHAN

1.      Misalkan fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:

p(x,y)=k(x²+y²);= -1,0,1,3 dan y= -q,2,3.

a.    Hitung nilai k!

b.    Hitung P(X=0,Y  2)!

c.    Hitung P(X  2-Y)!

2.      Misalkan fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:

P(x,y)= kxy;x= q,,3 dan y = 1,2,3.

a.    Tentukan nilai k!

b.    Hitung P(X  2-Y) dan P(X  2,Y  1)!

3.      Misalkan fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:

P(x,y)=( ) (x+y);x = 0,1,2,3 dan y = 0,1,2.

a.    Hitung P(X + Y  3)!

b.    Hitung P(X - 2  Y)!

c.    Hitung P(X - Y  1)!

4.      Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk:

P(x,y)=( ) (x+y);x = 1,2 dan y = 1,2,3,4

a.    Hitung P(X  Y)!

b.    Hitung P(X + Y = 3)!

c.    Hitung P(Y=2X)!

d.   Hitung P(X  3-Y)!

5.      Dua bola dianbil secara acak dari sebuah kantong berisi tiga bola biru, dan merah, dan tiga hijau jika X menyatakan bola yang berwarna biru dan Y warna merah yang terambil, hitunglah

a.    Distribusi marginal peubah acak X

b.    Distribusi marginal peubah acak Y

6.      Diketahui distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y:

Y                  x	1	2	3
1	0
2			0
3

BAB II

PENUTUP

A.  Kesimpulan

Fungsi distribusi Peluang Gabungan untuk dua peubah acak X dan Y adalah:

F(a,b)   =P(x  a, Y   b)

                   = (x,y), untuk data diskrit

                   =  (x,y) dy dx, untuk data kontinu

Sifat-sifat fungsi distribusi peluang gabungan:

1.    f (- )  = 0, f ( ) = 1

2.    fx (a)           =

3.    P

Distribusi marginal dari x dan y adalah g(x)= dan h(y)=untuk kasus diskrit, dan g(x)= dan h(y)= untuk kasus kontinu.